(2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证

(2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求二面角D-CB... (2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值. 展开
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工口YAKI325
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解答:解:(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,
又 AC⊥C1C,且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1,又BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1           
(II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3,BC=4,AA1=4,
∴A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),D(
3
2
,2,0)

B1(0,4,4),
CD
=(
3
2
,2,0)
CB1
=(0,4,4)

平面CBB1C1的法向量
n1
=(1,0,0)

设平面DB1C的法向量
n2
=(x0y0z0)

n1
n2
的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小  
则由
n2
?
CD
=0
n2
?
CB1
=0
?
3
2
x0+2y0=0
4y0+4z0=0
令x0=4,则y0=-3,z0=3
n2
=(4,-3,3)
…(10分)
cos<
n1
n2
>=
n1
?
n2
|
n1
|?|
n2
|
=
4
34
,则tan<
n1
n2
>=
3
2
4

∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为
3
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