(2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证
(2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求二面角D-CB...
(2012?广东模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值.
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解答:解:(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,
又 AC⊥C1C,且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1,又BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1
(II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3,BC=4,AA1=4,
∴A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),D(
,2,0),
B1(0,4,4),
∴
=(
,2,0),
=(0,4,4)
平面CBB1C1的法向量
=(1,0,0),
设平面DB1C的法向量
=(x0,y0,z0),
则
,
的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小
则由
?
令x0=4,则y0=-3,z0=3
∴
=(4,-3,3)…(10分)
cos<
,
>=
=
,则tan<
,
>=
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,
又 AC⊥C1C,且BC∩C1C=C
∴AC⊥平面BCC1,又BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1
(II)以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3,BC=4,AA1=4,
∴A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,0),D(
3 |
2 |
B1(0,4,4),
∴
CD |
3 |
2 |
CB1 |
平面CBB1C1的法向量
n1 |
设平面DB1C的法向量
n2 |
则
n1 |
n2 |
则由
|
|
∴
n2 |
cos<
n1 |
n2 |
| ||||
|
|
4 | ||
|
n1 |
n2 |
3
| ||
4 |
∵二面角D-B1C-B是锐二面角
∴二面角D-B1C-B的正切值为
3
|