Question

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+12x2-bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥72，求g（x1）-g（x2）的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)＝1+

a

x

，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝

1

x

+x?(b?1)=

x2?(b?1)x+1

x

，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+

1

x

+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
x+

1

x

＜b-1有解，
只需要x+

1

x

的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝

1

x

+x?(b?1)=

x2?(b?1)x+1

x

，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，
则μ（0）=[ln（x₁+

1

2

x12-（b-1）x₁]-[lnx₂+

1

2

x22-（b-1）x₂]
=ln

x1

x2

+

1

2

(x12?x22)?(b?1)(x1?x2)
=ln

x1

x2

+

1

2

(x12?x22)?(x1+x2)(x1?x2)
=ln

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