Question

一道定积分和一道不定积分的题目，大神求解，过程写清楚点，谢谢了

Answer 1

1. 因为sin^5x为奇函数，因此在(-1,1)的积分为0
原式=∫（-1，1）cos^5 xdx
=2∫(0, 1) cos^4x cosxdx
=2∫(0，1）(1-sin²x)²d(sinx)
=2∫(0,1) (1-2sin²x+sin^4 x)d(sinx)
=2[sinx-2/3sin³x+1/5sin^5 x](0,1)
=2[sin1-2/3sin³1+1/5sin^5 1]

2. 令x=t²， t>=0
则dx=2tdt
原式=∫t²*2tdt/(1+t)
=2∫t³dt/(1+t)
=2∫(t³+1-1)dt/(1+t)
=2[t²-t+1-1/(1+t)]dt
=2[t³/3-t²/2+t-ln(1+t)]+C
=2[x√x/3-x/2+√x-ln(1+√x)]+C

Answer 2

追问

刚有人先给做出来了，但还是谢谢你了

Answer 3

追答

追问

大神，强

哦，原来是高数老师，太给力了

Answer 4

1，分成2部分，每一个部分思路一样，放一个到d后面，前面被积函数用sin平方=1-cos平方转；
2，分子+1-1，分两部分，第二部分换元，令t=根号x试试；

追问

追答

恩，你参考其他人答案吧，我一般只提供思路，不帮忙计算的。

Answer 5

(1)
∫(-1->1) [(sinx)^5 + (cosx)^5 ]dx ( (sinx)^5: odd function)

=∫(-1->1) (cosx)^5 dx
=2∫(0->1) (cosx)^5 dx ( (cosx)^5 :even function )
=2∫(0->1) (1-(sinx)^2)^2 dsinx
=2∫(0->1) [ 1-4(sinx)^2 +6(sinx)^4-4(sinx)^6+ (sinx)^8 ] dsinx
=2[ sinx -(4/3)(sinx)^3 +(6/5)(sinx)^5-(4/7)(sinx)^7+ (1/8)(sinx)^9 ] |(0->1)
=2[ sin1 -(4/3)(sin1)^3 +(6/5)(sin1)^5-(4/7)(sin1)^7+ (1/8)(sin1)^9 ]
(2)
∫x/(1+√x) dx
let
√x = (tany)^2
[1/(2√x)] dx = 2tany (secy)^2 dy
dx = 4(tany)^3.(secy)^2 dy

∫x/(1+√x) dx
=4∫ (tany)^7 dy
=-4∫ { [1- (cosy)^2]^3/(cosy)^7 } dcosy
=-4∫ { [1- 3(cosy)^2+ 3(cosy)^4 - (cosy)^6 ]/(cosy)^7 } dcosy
=-4{ -1/[6(cosy)^6] + 3/[4(cosy)^4] - 3/[2(cosy)^2] + ln|cosy| } + C
=(2/3)(1+√x)^3 -3(1+√x)^2 - 6(1+√x)^2 +2ln|1+√x| + C