Question

（2013?平顶山三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠

（2013?平顶山三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）求证：△ABG∽△BFE；（2）当四边形EFCD为平行四边形时，若设AD=a，AB=b，BC=c①求a、b、c应满足的关系；②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，则∠C=______度（无需书写过程）．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，
∴△ABG∽△BFE；

（2）解：①∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴

AD

DB

=

DB

CB

，
即

a

a2+b2

=

a2+b2

c

，
∴a²+b²=ac；

②解关于a的一元二次方程a²-ac+2²=0，得：
a₁=

c+ c2?16

2

，a₂=

c? c2?16

2

由题意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；

Answer 2

分析 （1）由AD与BC平行，且AB垂直于BC，得到BA垂直于AD，在直角三角形ABE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到BE=2AE，即可求出BE的长；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEP，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABP=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAP=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
（3）根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
解答 （1）解：∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴BA⊥AD，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，AE=3，
∴BE=2AE=6；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EPB，
∴∠AEB=∠BEP，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形，
∵∠ABP+∠PBF=90°，∠PBF+∠EFB=90°，
∴∠ABP=∠EFB，
在等腰△ABP和△FEB中，∠BAP=
1
2
12（180°-∠ABP），∠FBE=
1
2
12（180°-∠EFB），
∴∠BAP=∠FBE，
∴△ABP∽△BFE；
（3）解：∵四边形EFCD为平行四边形，
∴EF∥DC，
∴∠EFB=∠C，∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠EFB，
∴∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，