Question

已知抛物线C：x2=2py，的焦点为F，△ABQ的三个顶点都在抛物线C上，点M为AB的中点，QF=3FM（1）若M（-223

已知抛物线C：x2=2py，的焦点为F，△ABQ的三个顶点都在抛物线C上，点M为AB的中点，QF=3FM（1）若M（-223，23），求抛物线C方程；（2）若P＞0的常数，试求线段|AB|长的最大值．

Answer 1

解答：解：（1）由题意可得F（0，

p

2

），设点Q（x₀，y₀），
∵M（-

2 2

3

，

2

3

），

QF

=3

FM

，
∴（-x₀，

p

2

-y₀）=3（-

2 2

3

，

2

3

-

p

2

），
求得

x0=2 2 y0=2p-2

，故Q（2

2

，2p-2）．
把点Q的坐标代入抛物线C：x²=2py，求得p=2，
或p=-1（舍去），
故抛物线C：x²=4y．
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2=2py

 得 x²-2pkx-2pm=0，
于是△=4p²?k²+8pm＞0，x₁+x₂=2pk，x₁?x₂=-2pm，
所以AB中点M的坐标为（pk，pk²+m）．
由

QF

=3

FM

，可得 （-x₀，

p

2

-y₀）=3（pk，pk²+m-

p

2

），
所以，

x0=-3pk y0=2p-3pk2-3m

，由x02=2py₀ 得 k²=-

2m

5p

+

4

15

．
由△＞0、k²≥0，求得-

p

6

＜m≤

2p

3

，
∵|AB|=

k2+1

?|x₁-x₂|=

k2+1

?

(x1+x2)2-4x1?x2

=2

(k2+1)(p2?k2+2pm)

=

24

15

-m2+3pm+ 19p2 36

，
由于函数f（m）=-m²+3pm+

19p2

36

 在（-

p

6