Question

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线相关的是（　　）A．α1-α2，α2-α3，α3-α1B．α2+α

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线相关的是（　　）A．α1-α2，α2-α3，α3-α1B．α2+α1，α2+α3，α3+α1C．α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1

Answer 1

对于选项A：
假设存在一组数，k，l，m，使得：k（α₁-α₂）+l（α₂-α₃）+m（α₃-α₁）=0，
化简得：（k-m）α₁+（l-k）α₂+（m-l）α₃=0，
因为：α₁，α₂，α₃线性无关，
所以：k=m，l=k，m=l，即：k=l=m，
取k=l=m=1，
则：选项A的向量组线性相关，
故A正确．
对于选项B：
假设存在一组数，k，l，m，使得：k（α₁+α₂）+l（α₂+α₃）+m（α₃+α₁）=0，
化简得：（k+m）α₁+（k+l）α₂+（l+m）α₃=0，
因为：向量组α₁，α₂，α₃线性无关，
所以可求得：k=l=m=0，
从而：选项B的向量组是线性无关的，
故选项B错误．
对于C选项：
同样有设：k（α₁-2α₂）+l（α₂-2α₃）+m（α₃-2α₁）=0，
则：（k-2m）α₁+（l-2k）α₂+（m-2l）α₃=0，
求得：k=2m，l=2k，m=2l，
即：k=l=m=0，
所以C选项中向量组线性无关
故选项C错误．
对于D选项：
同样设：k（α₁+2α₂）+l（α₂+2α₃）+m（α₃+2α₁）=0，
即：（k+2m）α₁+（l+2k）α₂+（m+2l）α₃=0，
求得：k=-2m，l=-2k，m=-2l，
即：k=l=m=0，
所以D选型的向量组线性无关，
故选项D错误．
∴故应选A