Question

已知数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点（n，Sn）都在函数f（x）=2x2-x的图象上．（1）求数列an的通项

已知数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点（n，Sn）都在函数f（x）=2x2-x的图象上．（1）求数列an的通项公式；（2）设bn＝Snn+p，且数列bn是等差数列，求非零常数p的值；（3）设cn＝2anan+1，Tn是数列cn的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

Answer 1

（1）由已知，对所有n∈N*，S_n=2n²-n，（1分）
所以当n=1时，a₁=S₁=1，（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，（3分）
因为a₁也满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为
a_n=4n-3（n∈N^*）．（4分）
（2）由已知b_n=

2n2?n

n+p

，（5分）
因为{b_n}是等差数列，可设b_n=an+b（a、b为常数），（6分）
所以

2n2?n

n+p

=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，
所以

a＝2 ap+b＝?1 bp＝0

，（8分）
因为P≠0，所以b=0，p=

1

2

．（10分）
（注：用b_n+1-b_n为定值也可解，或用其它方法解，可按学生解答步骤适当给分）
（3）c_n=

2

(4n?3)(4n+1)

＝

1

2

(

1

4n?3

?

1

4n+1

)，（12分）
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

(1?

1

5

+

1

5

?

1

9

+…+

1

4n?3

?

1

4n+1

)
=

1

2

(1?

1

4n+1

)
（14分）
由T_n＜

m

20

，得m＞(1?

1

4n+1

)，
因为1?

1

4n+1

＜1，所以m≥10．
所以，所求的最小正整数m的值为10．（16分）