Question

概率论一个问题

设X使一个连续型非负随机变量，F（X）为其分布函数，定义F'（X）=1-F(X)为其生存函数，证明，E（X）=F'（X）0到正无穷的积分。如果X是取正整数的离散型随机变量，给出相应的E(X)的表达式，并给出证明
- -知道怎么做，就是算不出来，麻烦各位帮帮忙

Answer 1

因∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx
=xF(x)-∫[1-F'(x)]dx
=x[F(x)-1]+∫F'(x)dx
故∫[0,+∞)xdF(x)=x[F(x)-1]|[0,+∞)+∫[0,+∞)F'(x)dx=∫[0,+∞)F'(x)dx
（因x→+∞时，limx[F(x)-1]=lim[F(x)-1]/(1/x)=limf(x)/(-1/x^2)=lim[-x^2f(x)]=0）
如果X是取正整数，设P(X=k)=Pk(k=1,2,3,...)，则
E(x)=∑[1,+∞)k*Pk=∑[1,+∞)k*[F(k+1)-F(k)]=∑[1,+∞)k*[F'(k)-F'(k+1)]

Answer 2

根据定义和分布函数就可以做出推导来，至于后边离散型的情况，可以推导出等于P{X>=K}的和，对K从1到正无穷加和

Answer 3