Question

如何证明收敛数列的极限是唯一的

Answer 1

证明如下：
设lim xn = a,lim xn = b

当n > N1,|xn - a| < E

当n > N2,|xn - b| < E

取N = max {N1,N2},

则当n > N时有

|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|

• 收敛数列定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|。

• 收敛数列的性质：

1. 如果数列收敛，那么它的极限唯一；

2. 如果数列收敛，那么数列一定有界；

3. 保号性；

4. 与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列。

Answer 2

因为E是任意的。如果我们假设a,b不相等，即a与b的差值不为0，则我们设|a-b|=t,(t不等于0)则我们一定能找到一个E满足0<E<t/2  (例如取E=t/4,因为E是任意正数，所以一定能取到)则t>2E这样，式子|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|<=|xn - b|+|xn - a|<=E+E=2E即|a-b|=t<=2E就不能恒成立所以，假设错误，a必须等于b这样t=|a-b|=0,无论E取什么值均满足0=|a-b|<2E成立

Answer 3

收敛数列必有界