Question

请构造向量解决以下问题设(x^2+y^2)(a^2+b^2)=(ax+by)^2(ab≠0），求证x/a=y/b

设(x^2+y^2)(a^2+b^2)=(ax+by)^2(ab≠0），求证x/a=y/b
注意是构造向量求解的
拜托了不知道怎么搞
给个思路吧！！

Answer 1

设m向量为（x，y），n向量为（a，b），则原式为(|m|*|n|)^2=（m点乘n)^2
m点乘n=m|*|n|*cosθ,所以cosθ=1,θ=0或π,所以两个向量平行,所以x/a=y/b

Answer 2

设向量AB=(a，b)，向量CD=(x，y)，则有向量AB*向量CD=ax+by
|向量AB|²=a²+b²，|向量CD|²=x²+y²
由已知(x²+y²)(a²+b²)=(ax+by)²，得：|向量AB|²*|向量CD|²=(向量AB*向量CD)² ①
又向量AB*向量CD=|向量AB|*|向量CD|cos<向量AB，向量CD> ②
对②两边平方并与①对比可得：cos²<向量AB，向量CD>=1
所以cos<向量AB，向量CD>=1或cos<向量AB，向量CD>=-1
即<向量AB，向量CD>=0或<向量AB，向量CD>=180°
所以向量AB与向量CD平行，所以有x/a=y/b