Question

1.求问此题如何用夹逼准则做(答案是1/2) 2.有一个方法是直接将此题等效成1/n²+2/n²+

1.求问此题如何用夹逼准则做(答案是1/2)
2.有一个方法是直接将此题等效成1/n²+2/n²+…+n/n²，为什么可以做如此等效

Answer 1

　　解：分享一种解法。当1<k<n时，k<k+k/n<k+1，对其从1到n求和，有∑k<∑(k+k/n)<∑(k+1)，即n(n+1)/2<∑(k+k/n)<(n+1)(n+2)/2。
　　又，n^2+n+1<n^2+n+k<n^2+n+n，∴1/(n^2+n+n)<1/(n^2+n+k)<1/(n^2+n+1)，
　　∴(1/2)n(n+1)/(n^2+n+n)<∑(k+k/n)/(n^2+n+k)<(1/2)(n+1)(n+2)/(n^2+n+1)，
　　而lim(n→∞)(1/2)n(n+1)/(n^2+n+n)=1/2、lim(n→∞)(1/2)(n+1)(n+2)/(n^2+n+1)=1/2，∴由夹逼定理，有lim(n→∞∑(k+k/n)/(n^2+n+k)=1/2。
　　【另外】，用k/n^2替换(k+k/n)/(n^2+n+k)，是因为lim(n→∞(k/n^2)/[(k+k/n)/(n^2+n+k)]=1，即k/n^2(k+k/n)/(n^2+n+k)是等价无穷小量。供参考。