Question

已知双曲线C;x2/4-y2=1，P是任意一点，求证，点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数

已知双曲线C;x2/4-y2=1，P是任意一点，求证，点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数

Answer 1

x2/4-y2=1
a^2=4,b^2=1
a=±2,b=±1
双曲线的渐近线为y=±x/2
x±2y=0
设P(a,b)
P到两条渐近线的距离为
|a*1+b*2|/√(1^2+2^2)=|a+2b|/√5
|a*1+b*(-2)|/√(1^2+(-2)^2)=|a-2b|/√5
距离的乘积为
|a^2-4b^2|/5
因为P是双曲线上的点所以满足
a^2/4-b^2=1
a^2-4b^2=4
所以|a^2-4b^2|/5=4/5

因此点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为一个常数4/5

Answer 2

设P坐标为（2secx，tanx），渐近线方程：y=1/2x或者y=-1/2x
P到双曲线的渐近线y=1/2x距离为M=｜secx-tanx｜/(1+1/4)^(1/2)
P到双曲线的渐近线y=-1/2x距离为N=｜secx+tanx｜/(1+1/4)^(1/2)
点P到双曲线的两条渐近线距离的乘积为S=M*N=|(secx)^2-(tanx)^2|/(5/4)=4/5