Question

高一平面向量

已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取到最小值。

Answer 1

（a+λb）²＝|a|²+2λ|a||b|cos＜a,b＞+λ²|b|²，设cos＜a,b＞=cosα
＝|b|²[λ²+2λ|a|cosα/|b|+[|a|cosα/|b|]²]+|a|²（1－cos²α） [α＝＜a,b＞]
＝|b|²[λ+|a|cosα/|b|]²+|a|²（1－cos²α）
∴当λ＝-|a|cosα/|b|]时。a+λb的模取得最小值。
此时b·（a+λb）＝b·a+[-|a|cosα/|b|]|b|²＝b·a-a·b＝0. b⊥（a+λb）
∴当b⊥（a+λb），a+λb的模取得最小值。