Question

已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，Q是曲线ρ=12cos(θ-π/6)上的动点，试求PQ的最大值

Answer 1

答案是18
ρ=12sinθ ρ^2=12ρsinθ x^2+y^2=12y x^2+(y-6)^2=6^2
是以(0,6)为圆心 半径是6的圆. 设圆心为Op
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同理 ρ=12cosθ x^2+y^2=12x 是以(6,0)为圆心, 半径为6的圆
而ρ=12cos(θ-π/6) 相当于把坐标轴逆时针旋转了π/6 就是30度.
把圆心从极坐标θ=0旋转到了θ=π/6, 圆心到原点距离仍然是6.
圆心坐标是(3√3 , 3) 记为Oq
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Op, Oq的连线，和圆P, 圆Q分别交于D, E
容易求出它们位置是 D(- 3√3 ,9) E(6√3, 0) 且Op在圆Q上, Oq在圆P上
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那么DE是否就是 PQ的最大值呢? 假设圆Q上不同于E点的另一点F.
则 OpF < OpE (OpE是圆Q的直径)
所以PF=OpF+R =OpF+6 < OpE+6 = 12+6=18
就是Q点只能取点E, 才能让PQ取最大值18. 此时P也只能在D点.
因为任何圆P上非D点的点G, 都有GE<GOq+EOq<DOq+EOq=18