利用单位圆和三角函数线证明 若α为锐角，求证α*sinα+cosα>1
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【证】设锐角α与单位圆交于点P，过点P做PM⊥x轴，
由三角函数线的定义可知：sinα=MP,cosα=OM.
∵三角形OAP的面积<扇形OAP的面积
即1/2•OA•MP<1/2•弧AP•OA
∴MP<弧AP,即sinα<α.
∵α为锐角，∴0<cosα<1, ∴cosα> cos²α
∴α*sinα+cosα>sinα*sinα+cosα= sin²α+cosα
> sin²α+ cos²α=1.
所以结论成立。
由三角函数线的定义可知：sinα=MP,cosα=OM.
∵三角形OAP的面积<扇形OAP的面积
即1/2•OA•MP<1/2•弧AP•OA
∴MP<弧AP,即sinα<α.
∵α为锐角，∴0<cosα<1, ∴cosα> cos²α
∴α*sinα+cosα>sinα*sinα+cosα= sin²α+cosα
> sin²α+ cos²α=1.
所以结论成立。
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2024-10-28 广告
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