Question

如图16，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,

如图16，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D,与BC交于另一点E.
(1)求证：三角形AOC≌三角形AOD;
(2)若BE=1,BD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.

Answer 1

（1）AB为⊙O切线，所以OD⊥AB ∠ADO=∠ACO=90
又OD=OC=⊙O半径 又有公共边AO 所以三角形AOC≌三角形AOD
（2）Rt⊿ODB中有：OD2+BD2=OB2
设⊙O的半径为r 即OD=OE=r，OB=OE+BE=r+1
所以有：r2+3^2=(r+1)^2
解方程得：r=4
又Rt⊿ODB∽Rt⊿ACB，BD/OD=BC/AC
BC=BE+2r=1+8=9
所以AC=BC*OD/BD=9*4/3=12 所以S⊿ABC=1/2AC*BD=1/2*12*9=54
S阴=S⊿ABC-1/2S⊙O=54-1/2*πr^2=54-1/2*π*4^2=54-8π

Answer 2

∵OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D
OD为半径
∴∠ODA=90°
∵OD=OA
∠DAO=∠CAO
∴三角形AOC≌三角形AOD
设od=x
（x+1）*（x+1）=BD*BD+X*X
X=4
∴BC=9
△BDO∽△ABC
∴AB=15 AC=12
s=54-8π

Answer 3

（1）AB为⊙O切线，所以OD⊥AB ∠ADO=∠ACO=90
又OD=OC=⊙O半径 又有公共边AO 所以三角形AOC≌三角形AOD
（2）Rt⊿ODB中有：OD2+BD2=OB2
设⊙O的半径为r 即OD=OE=r，OB=OE+BE=r+1
所以有：r2+3^2=(r+1)^2
解方程得：r=4
又Rt⊿ODB∽Rt⊿ACB，BD/OD=BC/AC
BC=BE+2r=1+8=9
所以AC=BC*OD/BD=9*4/3=12 所以S⊿ABC=1/2AC*BD=1/2*12*9=54
S阴=S⊿ABC-1/2S⊙O=54-1/2*πr^2=54-1/2*π*4^2=54-8π