Question

23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到最大值是多少？

Answer 1

这23个数的最大公因数可能达到17。推理如下:假设这23个数的最大公约数是x，那么这23个数以及它们的和都是x的倍数。
4845=3×5×17×19，所以，x必定是等于3或者5、17、19，或者其中两个或几个数的积。
由于这23个数各不相同，所以它们最小可能分别是x的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍……23倍。
1+2+3+……+23=276
它们的和最小是x 的276倍。
3×5=15，3×17=51，
3×19=57，5×17=85，5×19=95，17×19=323，3×5×17=255，
3×5×19=285，
3×17×19=969，
5×17×19=1615
上述乘积中，不小于276的有四个，其中最小的是285。
所以4845最小是x 的285倍。4845÷285=17，此时x =17。
4845÷969=5，
4845÷1615=3，
4845÷4845=1，
即，x也可能是5或3或1。所以，这23个数的最大公约数的最大值是17。