Question

抛物线y²=-12x的一条弦的中点为M（-2,-3），求次弦所在的方程及弦长

Answer 1

你的答案是正确的，只是弦长的值还需要化简！
第一个问题：
由抛物线方程y^2＝－12x，可知：抛物线关于x轴对称，而点M（－2，－3）不在x轴上，
∴过点M的弦存在斜率，令斜率为k，则弦的方程是：y＋3＝k（x＋2），即：y＝kx＋2k－3。
联立：y＝kx＋2k－3、y^2＝－12x，消去y，得：（kx＋2k－3）^2＝－12x，
∴k^2x^2＋2（2k－3）kx＋（2k－3）^2＋12x＝0，
∴k^2x^2＋2［（2k－3）k＋6］x＋（2k－3）^2＝0。
∵弦的两端点都在直线y＝kx＋2k－3上，
∴可设弦的两端点坐标分别为（m，km＋2k－3）、（n，kn＋2k－3）。
显然，m、n是方程k^2x^2＋2［（2k－3）k＋6］x＋（2k－3）^2＝0的两根，
∴由韦达定理，有：m＋n＝－2［（2k－3）k＋6］/k^2。
由中点坐标公式，有：（m＋n）/2＝－2，∴m＋n＝－4，∴－2［（2k－3）k＋6］/k^2＝－4，
∴（2k－3）k＋6＝2k^2，∴2k^2－3k＋6＝2k^2，∴k＝2，∴2k－3＝1。
∴满足条件的弦的方程是：y＝2x＋1。
第二个问题：
由韦达定理，有：mn＝（2k－3）^2/k^2＝［（2×2－3）/2］^2＝1/4。
∴弦长
＝√［（m－n）^2＋（km－kn）^2］＝√［（1＋k^2）（m－n）^2］
＝√［（1＋4）（m－n）^2］＝√｛5［（m＋n）^2－4mn］｝
＝√｛5×［（－4）^2－4×（1/4）］｝＝√［5×（16－1）］＝5√3。