Question

已知数列｛an｝满足a1=1，a2=2，且对于任意的正整数n≥2，都有an+1=3an-2an-1？

已知数列｛an｝满足a1=1，a2=2，且对于任意的正整数n≥2，都有an+1=3an-2an-1，求证数列｛an+1-an｝是等比数列，求数列｛an｝的前n项和

Answer 1

当n≥2时
a(n+1)=3an-2a(n-1)
a(n+1)-an=2an-2a(n-1)=2[an-a(n-1)]
所以数列{a(n+1)-an}是以a2-a1=1为首项，公比q=2的等比数列
a(n+1)-an=2^(n-1)
an-a(n-1)=2^(n-2)
……
a3-a2=2^1
a2-a1=2^0
后面n-1个式子累加得
an-a1=1+2+2²+……+2^(n-2)=2^(n-1)-1
an=2^(n-1)-1+1=2^(n-1)
当n=1时，a1=1也满足上式
因此 an=2^(n-1)

追问

an的前n项和怎么求？

追答

an=2^(n-1)
Sn=1+2+2²+……+2^(n-1)
=a1(1-q^n)/(1-q)
=(1-2^n)/(1-2)
=2^n -1

Answer 2

a3=3a2-2an-1
a3=3×2-2×1=4
a4=3×4-2×2=8
an=2的（n-1）次方
S=1+2+4+2³+...+2的（n-1）次方
2S=2+4+2³+...+2的n次方
S=2n次方-1

Answer 3