Question

请问例2这道题用拉格朗日中值定理怎么做呀？

我有一部卡住了，就是在对中值定值的时候。谢谢帮忙看看

Answer 1

令f(t)=√t
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(x,x+√(x+√x))，使得：
f'(k)=[f(x+√(x+√x))-f(x)]/[x+√(x+√x)-x]
所以lim(x->+∞) √[x+√(x+√x)]-√x
=lim(x->+∞) √(x+√x)/2√k
=(1/2)*lim(x->+∞) √[x/k+√(x/k^2)]
因为x<k<x+√(x+√x)
1<k/x<1+√(1/x+√x/x^2)
且lim(x->+∞) 1+√(1/x+√x/x^2)=1
根据极限的夹逼性，lim(x->+∞) k/x=1
即k是x的同阶无穷大
所以原式=(1/2)*lim(x->+∞) √[x/k+√(x/k^2)]
=(1/2)*√(1+√0)
=1/2