Question

线性代数 由二次型化为标准型,什么情况需要单位化正交化,什么时候不用?谢谢!!

Answer 1

看特征值1）如果求出的特征值都是单根，则这些特征值的特征向量都是彼此正交的（有定理），此时只需分别单位化即可。2）如果求出的特征值中有重根，则这些特征值的特征向量之间不一定正交，此时需进行单位正交化。

Answer 2

我们以二次型矩阵A的特征矩阵为基础，利用正交化法进行变换，思路是正交矩阵（AAT=E)的转置等于逆，利用正交矩阵使A对角化(以特征值为对角线元素的对角矩阵)。
注意：正交矩阵不同列内积均为0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均为1，也就是单位化，矩阵列向量正交不代表矩阵就是正交矩阵！
分两种情况：
二次型矩阵A是实对称矩阵(必可对角化)，如果其特征值λ互异，那么对应特征向量必正交(对角称矩阵的性质)，由其构成的矩阵只需单位化(列向量分别除以模)，就可得到正交变换矩阵；
否则，二次型矩阵A相同特征值对应的特征向量，取基础解系，与其它互异特征值对应的特征向量一起构成矩阵，只需对基础解系施密特正交变换(正交化)，然后对矩阵单位化(勿忘！)。
变换的结果是特征值λ为系数的标准型。