Question

为什么在三重积分中f(x,y,z)可以写成f(x)f(y)f(z)？

Answer 1

当f(x,y,z)可以分解成三个独立函数的乘积g(x) h(y)i(z)时才可以
其实很直观,根据三重积分定义,∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dz∫dy∫ g(x)h(y)i(z)dx
内部积分中,h(y)i(z)和被积变量x无关,是常数,可以提出积分号外部,因此
∫ g(x)h(y)i(z)dx =h(y)i(z)∫g(x)dx
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dz∫dy∫ g(x)h(y)i(z)dx
=∫dz∫[h(y)i(z)∫g(x)dx]dy
对∫[h(y)i(z)∫g(x)dx]dy而言i(z)∫g(x)dx]又是常数,可以提出来
∫[h(y)i(z)∫g(x)dx]dy = i(z)∫g(x)dx∫h(y)dy
同理再看外部积分,你就得到你要的式子了

Answer 2

不是所有的都可以写成这样， 比如 f(x,y,z)=x+y+z,就不能写成
f(x)f(y)f(z)的形式，只有他们本身时乘积的形式时，才能这么写！
比如 f(x,y,z)=sinxcosy*e^z, 这里f(x)=sinx, f(y)=cosy, f(z)=e^z