高数，为什么f'(0)=0，它已经乘了x不就等于0了吗？（画红线的）
1个回答
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这里当然是求极限和无穷小的问题
不是等于0就可以消去的
你要注意分母是x³
也就是三阶的无穷小
而把分子的sinx和f(x)都进行泰勒展开之后
就得到sinx=x -x³/3!=x -x³/6
而f(x)=f(0)+f'(0) *x +f''(0)/2! *x²
所以 sinx +xf(x)= (1+f(0))x +f'(0) x² + (f''(0)/2!-1/6) *x³
再除以分母的x³ ，极限值趋于1/2
即分子分母是同阶无穷小
那么分子只有x³的系数不等于0
而x和x²的系数肯定为0，否则极限值就会趋于无穷大
所以得到1+f(0)=f'(0)=0
不是等于0就可以消去的
你要注意分母是x³
也就是三阶的无穷小
而把分子的sinx和f(x)都进行泰勒展开之后
就得到sinx=x -x³/3!=x -x³/6
而f(x)=f(0)+f'(0) *x +f''(0)/2! *x²
所以 sinx +xf(x)= (1+f(0))x +f'(0) x² + (f''(0)/2!-1/6) *x³
再除以分母的x³ ，极限值趋于1/2
即分子分母是同阶无穷小
那么分子只有x³的系数不等于0
而x和x²的系数肯定为0，否则极限值就会趋于无穷大
所以得到1+f(0)=f'(0)=0
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