已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex,(x,a∈R).?

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玄策17
2022-11-24 · TA获得超过935个赞
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解题思路:(1)先求出函数f(x)的导函数,求出切点坐标,根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式即可;
(2)若f(x)在R上单调,则f'(x)=e x[x 2+(a+2)x+a+2]>0恒成立,考虑到e x>0恒成立且x 2系数为正,从而等价x 2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,利用判别式建立关系式,即可求出所求;
(3)先求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值即可.
f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],
(1)当a=0时,f(x)=(x2+2)ex,f'(x)=ex(x2+2x+2),
f(1)=3e,f'(1)=5e,
∴函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0
(2)f'(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2],,
考虑到ex>0恒成立且x2系数为正,
∴f(x)在R上单调等价x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立.
∴(a+2)2-4(a+2)≤0,
∴-2≤a≤2,即a的取值范围是[-2,2],
(3)当a=-[5/2]时,f(x)=(x2-[5/2]x+2)ex,f'(x)=ex(x2-[1/2]x-[1/2]),
令f'(x)=0,得x=-[1/2],或x=1,
令f'(x)>0,得x<-[1/2],或x>1,
令f'(x)<0,得-[1/2]<x<1
x,f'(x),f(x)的变化情况如下表

X (-∞,-[1/2]) -[1/2] (-[1/2],1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大值 减 极小值 增所以函数f(x)的极小值为f(1)=
1
2e
,4,已知函数f(x)=(x 2+ax+2)e x,(x,a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在R上单调,求a的取值范围;
(3)当 a=− 5 2 时,求函数f(x)的极小值.
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