Question

求经过直线2x+y+3=0与x-2y+4=0的交点,且距离原点的距离力2在直线方程

Answer 1

先求出直线2x+y+3=0与x-2y+4=0的交点

对于方程组：

2x+y+3=0 ①式

x-2y+4=0 ②式

①×2+②可得：

4x+6+x+4=0

解得：x=-2

代入①得：y=2×2-3=1

因此交点为（-2,1）

当所求直线斜率不存在时，为x=-2

x=-2与原点的距离为2，符合题意

当所求直线斜率存在时，设直线为y=k（x+2）+1

直线与原点的距离为2，那么有：

|2k+1|÷ √k^2+1=2

整理可得：

（2k+1）^2=4(k^2+1)

4k^2+4k+1=4k^2+4

解得k=3/4

直线为y=3/4×（x+2）+1

整理为一般式为：3x-4y+10=0

综上所述，所求直线方程为：

x=-2或3x-4y+10=0

Answer 2

设所求直线方程为 a(2x+y+3)+b(x-2y+4)=0，
化为 (2a+b)x+(a-2b)y+(3a+4b)=0，
根据条件，d=|3a+4b| / √[(2a+b)^2+(a-2b)^2] = 2，
化简得 11a^2-24ab+4b^2=0，
分解得 (a-2b)(11a-2b)=0，

取 b=1，a=2 或 a=2，b=11，

可得所求直线方程为 5x+10=0 或 15x-20y+50=0，
化简得 x+2=0 或 3x-4y+10=0 。