Question

已知x+y=5,求xy+1的最大值

Answer 1

按照计算这个式子的最大值是21/4，或者说是5.25，在这里我们先由x+y=5得到y=5-x，然后把这个表达式带入到xy-1中去，得到-x^2+5x-1，我们现在求这个一元二次表达式的最大值就可以了，按照最大值的计算方法，在x=5/2的时候，也就是说其一阶导数等于零的时候有最大值，这个最大值是21/4，由公式（4ac-b^2）/4a得到。

请参考图片计算过程。

Answer 2

我们可以通过以下步骤来求解：
根据均值不等式，有 (x+y)/2 ≥ √(xy)，即 xy ≤ (x+y)^2/4 = 25/4。
于是，我们得到了一个限制条件 xy ≤ 25/4。因此，目标是求出使得 xy+1 最大的 x 和 y 的取值。
根据 x+y=5，我们可以将 y=5-x 带入 xy+1 中得到：
xy+1 = x(5-x)+1 = -x^2 + 5x + 1
注意到这是一个关于 x 的二次函数，在开口向下的抛物线上。它的顶点为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 a=-1，b=5。代入计算可得：
x = -b/2a = -5/(-2)5/2 = 5/2
y = 5-x = 5/2
因此，当 x=5/2 时，xy+1 取得最大值。代入计算可得：
xy+1 = 5/2 × (5/2) + 1 = 27/4
综上所述，当 x=5/2，y=5/2 时，xy+1 取得最大值，为 27/4。

Answer 3

由前式得y=5-ⅹ
代入后式
ⅹy+1=(5-ⅹ)ⅹ+1=-ⅹ^2+5ⅹ+1
=-(x-5/2)^2+1-25/4
=-(ⅹ-5/2)^2-21/4
当ⅹ=5/2时ⅹy+1有最大值-21/4.