已知x+y=5,求xy+1的最大值
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我们可以通过以下步骤来求解:
根据均值不等式,有 (x+y)/2 ≥ √(xy),即 xy ≤ (x+y)^2/4 = 25/4。
于是,我们得到了一个限制条件 xy ≤ 25/4。因此,目标是求出使得 xy+1 最大的 x 和 y 的取值。
根据 x+y=5,我们可以将 y=5-x 带入 xy+1 中得到:
xy+1 = x(5-x)+1 = -x^2 + 5x + 1
注意到这是一个关于 x 的二次函数,在开口向下的抛物线上。它的顶点为 (-b/2a, f(-b/2a)),其中 a=-1,b=5。代入计算可得:
x = -b/2a = -5/(-2)5/2 = 5/2
y = 5-x = 5/2
因此,当 x=5/2 时,xy+1 取得最大值。代入计算可得:
xy+1 = 5/2 × (5/2) + 1 = 27/4
综上所述,当 x=5/2,y=5/2 时,xy+1 取得最大值,为 27/4。
根据均值不等式,有 (x+y)/2 ≥ √(xy),即 xy ≤ (x+y)^2/4 = 25/4。
于是,我们得到了一个限制条件 xy ≤ 25/4。因此,目标是求出使得 xy+1 最大的 x 和 y 的取值。
根据 x+y=5,我们可以将 y=5-x 带入 xy+1 中得到:
xy+1 = x(5-x)+1 = -x^2 + 5x + 1
注意到这是一个关于 x 的二次函数,在开口向下的抛物线上。它的顶点为 (-b/2a, f(-b/2a)),其中 a=-1,b=5。代入计算可得:
x = -b/2a = -5/(-2)5/2 = 5/2
y = 5-x = 5/2
因此,当 x=5/2 时,xy+1 取得最大值。代入计算可得:
xy+1 = 5/2 × (5/2) + 1 = 27/4
综上所述,当 x=5/2,y=5/2 时,xy+1 取得最大值,为 27/4。
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由前式得y=5-ⅹ
代入后式
ⅹy+1=(5-ⅹ)ⅹ+1=-ⅹ^2+5ⅹ+1
=-(x-5/2)^2+1-25/4
=-(ⅹ-5/2)^2-21/4
当ⅹ=5/2时ⅹy+1有最大值-21/4.
代入后式
ⅹy+1=(5-ⅹ)ⅹ+1=-ⅹ^2+5ⅹ+1
=-(x-5/2)^2+1-25/4
=-(ⅹ-5/2)^2-21/4
当ⅹ=5/2时ⅹy+1有最大值-21/4.
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