Question

圆内两条互相垂直的弦有什么性质？

Answer 1

圆内两条互相垂直的弦有以下三个定理：
1. 弦垂直定理：一个弦与过其中点的直径相垂直。
证明：设弦 AB 与直径 CD 相交于点 E，连接 OE 和 AC。由于 CD 是直径，所以角 COD 是直角。又由于 AB 是弦，所以角 AOB 是锐角或钝角，因此角 AOC 不可能为直角。所以角 COE 是锐角或钝角，即弦 AB 与过其中点的直径 CD 相垂直。
2. 弦弦相交定理：两条互相垂直的弦相交于圆内的一点时，其各自所在的圆弧和弦上的两个交点与两条弦的交点构成的四点共圆。
证明：设弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AE、BE、CE、DE。由于 AD 和 BE 是相交弦，根据外接角定理，可以得知角 AED 和角 BEC 是互补角，所以它们的和等于180度。同理，角 AEC 和角 BED 也是互补角，所以它们的和等于180度。所以四点 A、B、C、D 共圆。
3. 弦弦相交角定理：两条互相垂直的弦相交于圆内的一点时，弦上相对的两个弧所对的弧度数之和为180度。
证明：设弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，弧 AC 所对的角为 α，弧 BD 所对的角为 β，且 α + β = 180度。根据弦弦相交定理，四点 A、B、C、D 共圆，所以角 AEC 和角 BED 是对顶角，它们的和等于360度。而角 AEC 由弧 AC 所对，角 BED 由弧 BD 所对，所以α + β = 180度。
这些定理在圆相关的几何问题中很常用，可以帮助我们推导分析圆内部的弦和弦之间的关系。