Question

椭圆右焦点为F 过F的直线L与椭圆交A B 两点 L倾角为60° 向量AF=2向量BF 求椭圆离心率 当AB=15/4 求椭圆方

椭圆右焦点为F 过F的直线L与椭圆交A B 两点 L倾角为60° 向量AF=2向量BF 求：（1）椭圆离心率 （2）当AB=15/4 求椭圆方程 请写出过程 O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

好么，解着压力有点大……
（1）用常规方法解也是可以的，不过在这里推荐使用椭圆的第二定义，即椭圆上一点的焦半径比改点到准线距离恒等于离心率
作图，由图像可知B点在上，A点在下。
作出准线l，然后作AC、BD垂直于l，所以AC、BD的长度就是A、C到准线距离。
过B作BE垂直AC于E。
由BF/BD=AF/AC=离心率e，可导出AC=2BD。所以CE=BD=AE。因为AB的倾斜角是60度，所以AB=2AE=2BD
另一方面，BD*e=BF，BF=AB/3，所以AB=3eBD。
综上，2BD=3eBD，e=2/3。
（2）利用焦半径公式，AF=a-ex1，BF=a-ex2 (x1、x2分别为A、B横坐标）
所以AB=2a-e(x1+x2)=15/4。
然后利用点斜式求得AB方程，与椭圆方程联立，得到一个关于x的一元二次方程。用伟达定理求出x1+x2=6ca^2/b^2+3a^2
带入2a-e(x1+x2)=15/4中，得到一个方程。此时你手中有e=2/3，a^2=b^2+c^2，以及上面的式子。之后将b和c分别换成a即可，最后可得到一个关于a的一元一次方程（囧），我算的a^2=9，b^2=5，最后带入标准方程就是结果了。
虽然至少在我们天津，第二定义不是高考要求范围，但是有的题用第二定义解非常方便，所以建议掌握。