Question

设方程x^n+nx-1=0.证明： 1 方程存在唯一正根xn 2 对于常数α>1,证明xn^α的级数收敛

Answer 1

解：1.因为f(0)=-1<0，f(1/n)=(1/n)^n>0,所以方程在（0，1）内必有实根；又因为n是正整数，所以函数f(x)=x^n+nx-1是R+上的增函数，且是连续函数，所以方程最多有一个正根，因此方程存在唯一
正根xn ,
2.由上可知：Xn 属于区间（0，1/n)，进一步可发现：Xn 属于区间 [1/(2n)，1/n)。
由于α>1时，级数1/n^α，和级数1/（2n）^α都是收敛的，所以xn^α的级数也是收敛的。

Answer 2

令F(x)=x^n + nx - 1
分别取x=1,x=0,有F(1)=n,F(0)=-1，则F(0)*F(1)<0(因为n>0)
又显然F(x)在[0,1]上连续，在（0，1）上可导，由零值定理得
存在一Xn属于（0，1）使得
F(Xn)=0
得证，存在
至于唯一
由F'(x)单调性做出判断
由于0<Xn<1, so Xn=(1-Xn^n)/n<1/n
所以Xn^a<(n)^-a(a>1)
数列{(n)^-a,(a>1)}收敛，由比较判别定理
{Xn^a,a>1}收敛
完成