Question

一道高三文科数学题。

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax^2+1.
(1)讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∽），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|。

请写明过程，谢谢。

Answer 1

1.f（x）=（a+1）lnx+ax^2+1.
则函数定义域为x>0
设x2>x1
有f（x2）-f（x1）=（a+1）lnx2+ax2^2+1-[（a+1）lnx1+ax1^2+1]
=（a+1）(lnx2-lnx1)+a(x2^2-x1^2)
=(a+1)lnx2/x1+a(x2-x1)(x2+x1)
a>0时，增函数
a<-1时，减函数
2.|f（x1）-f（x2）|=|(a+1)lnx1/x2+a(x1-x2)(x1+x2)|

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