Question

八年级几何

等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PE⊥AC,PD⊥BC，垂足分别为E,F,D,且AH⊥BC于点H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH

Answer 1

证明：连 PA PB PC
∵ PE⊥AB，PF⊥AC,PD⊥BC
∴ PE PF PD 分别是△APB △BPC △CPA 的高。
∵ △ABC 是等边三角形
∴ AB = BC = CA

∵ S△ABC = S△APB + S△BPC + S△CPA
= 1/2•AB•PE + 1/2•BC•PD + 1/2•CA•PF
= 1/2 • BC • ( PE + PD + PF ) --------------------- (1)

∵ AH ⊥ BC
∴ AH 是等边三角形ABC底边BC上的高。
∴ S△ABC = 1/2 • BC • AH -------------------- (2)

由（1）（2）知：PE + PF + PD = AH。

祝您学习顺利！

Answer 2

连接PA，PB，PC
设等边三角形边长为a
S△PAB=1/2*PE*AB=1/2a*PE
S△PBC=1/2*PD*BC=1/2a*PD
S△PAC=1/2*PF*AC=1/2a*PF
S△ABC=1/2*BC*AH=S△PAB+S△PBC+S△PAC
两边相等，同时约去1/2a
则AH=PE+PF+PD