Question

一道关于函数极值的题

已知函数 f(x)=1/3x3+1/2ax2+2bx+c，函数f(x)在区间(0,1)内取极大值，在区间（1,2）内取极小值，则u=(b-2)/(a-1)的取值范围是？
这道题的解答过程是：由题意，f′(x)=x2+ax+2b，令f′(x)=0，则该方程的一根在（0,1）内，另一根在（1,2）内。 由f′(0)＞0，f′(1)<0，f′(2)>0 得b>0，a+2b+1<0，a+b+2>0. 画出可行域，由于u=(b-2)/(a-1)表示区域内的点(a，b)与 (1，2)连线的斜率，故得u=(b-2)/(a-1)的取值范围为(1/4，1),

我想问的是：①为什么该方程的一根在（0,1）内，另一根在（1,2）内？ ②f′(0)＞0，f′(1)<0，f′(2)>0 是怎么得出来的？ ③题目条件函数f(x)在区间(0,1)内取极大值，在区间（1,2）内取极小值可以说明什么？
请详细解答上述问题并讲解解题过程和关于遇到此类极值方面的题应该注意的细节问题，谢谢！

Answer 1

1.是求导后的方程的根在给定区间内。（这是根据导函数的定义得到的）一个可导函数求导后的式子=0如果可以得到相应的根，那么该根就是原函数取极值时x的取值。
2.把x=0,x=1,x=2分别带入导函数求得的
3.说明导函数=0时的取值范围和原函数的增减趋势

要注意的是，该函数是否可导

希望对你有帮助