Question

已知Y是X的二次函数，且其图像在X轴上截得的线段AB长4个单位，当X=3时，Y取最小值 -2 .(1)求这个二次函数

已知Y是X的二次函数，且其图像在X轴上截得的线段AB长4个单位，当X=3时，Y取最小值 -2 .(1)求这个二次函数的解析式。（2）若此函数图像上有一点P，使△PAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。

Answer 1

　（1）∵当x=3时y取得最小值-2．
即抛物线顶点为（3，-2），对称轴为直线x=3，
∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-2．
又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，
∴图象与x轴交于（1，0）和（5，0）两点．
∴a（1-3）2-2=0，

∴a=1/2
∴所求二次函数解析式为y=1/2x2-3x+5/2
（2）∵△PAB的面积为12个平方单位，|AB|=4

∴1/2×4×|Py|=12，∴|Py|=6，
∴Py=±6．
但抛物线开口向上，函数值最小为-2，
∴Py=-6应舍去，
∴Py=6又点P在抛物线上，
∴6=1/2x2-3x+5/2 x1=-1，x2=7．
点P的坐标为（-1，6）或（7，6）．

Answer 2

抛物线的对称轴是X=3，其图像在X轴上截得的线段AB长4个单位，所以点（5，0）在抛物线上
设解析式为y=a(x-3)^2-2
把（5，0）代入上式，得到 a=1/2 y=1/2(x-3)^2-2 y=1/2x^2-3x+5/2

设△PAB的AB上的高为h。则
1/2*AB*h=1/2*4h=2h=12 h=6
因为Y取最小值 -2，所以点P一定在X轴上方。
在 y=1/2(x-3)^2-2 中，当y=6时，x=7 x=-1
P(7，6) P（-1，6）

Answer 3

解：易知 对称轴 x=3 线段AB=4
图像与x轴交点为 （1,0），（5.，0）
设两点式为y=a（x-1）（x-5） 将（3,2）带入得 a=1/2
整理得 y=1/2x^2-3x+5/2
(2)设p点坐标为（a，b）
有 s=1/2x4xb=12 b=6
将b=6带入 y=1/2x^2-3x+5/2
得 a=7或-1
所以p点坐标为（7,6）或（-1,6）