Question

求解一道高二数学 不等式题目

已知实数m>1/2,n>1,则 n^2/(2m-1) + 4m^2/(n-1) 的最小值为（ ）
A.4 B.7.5 C.8 D 16
请写出过程 谢谢

Answer 1

zhangerwa12 ，你好：
这题非常容易，用柯西变式，柯西不等式的推论，称之为柯西变式：a1^2/b1 +a2^2/b2+----+an^2/bn≥(a1+a2+a3+---+an)^2/(b1+b2+---+bn) 当且仅当a1/b1=a2/b2=----=an/bn时等号成立。
柯西不等式，你应该会证，是这样写的(x1^2+x2^2+---+xn^2)*(y1^2+y2^2+---+yn^2)≥(x1y1+x2y2+---+xnyn)^2 等号当且仅当x1/y1=x2/y2=----=xn/yn成立。
在柯西不等式中，令x1=a1/(√b1) ----xn =an/(√bn), yi=√bi ，代入就可以了。然后除过去。
因此，原式>=（2m+n）^2/(2m+n)-2 等号当且仅当n/2m-1=2m/n-1取到。
记2m+n=x,则x>2,求x^2/(x-2)的最小值。考虑单调性知。用导数的知识求极点。知求导数为（x^2-4x）/(x-2)^2，x=4时有最小值，是8，这已经摄及到求极限了，此题有点超纲。

Answer 2

令n-1=x（x＞0）,2m-1=y（y＞0）
则原式可化为(x^2+2x+1)/y + (y^2+2y+1)/x
=(x^2+1)/y +(y^2+1)/x+2x/y +2y/x
≥2x/y+2y/x+2x/y +2y/x （当x=1，y=1时取等）
＝4x/y+4y/x
≥8 （当x=y时取等）
所以当n=2，m=1是有最小值8
答案是C

Answer 3

令n-1=x（x＞0）,2m-1=y（y＞0）
则原式可化为(x^2+2x+1)/y + (y^2+2y+1)/x
=(x^2+1)/y +(y^2+1)/x+2x/y +2y/x
x^2+1≥2x, y^2+1≥2y
以上≥2x/y+2y/x+2x/y +2y/x （当x=1，y=1时取等）
＝4x/y+4y/x
≥8 （当x=y时取等）
所以当n=2，m=1是有最小值8