Question

如图1，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE//BC，∠CDE的平分线

交AC于F点（1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；（2）如图2，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数；（3）如图3，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，∠DEC+∠5DMH/∠ANF的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，试求出其值

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Answer 1

第一问已有回答，现回答第二、三问。

（2）解:设∠ABC=∠1，∠BCD=∠2，∠DCG=∠3，∠BDC=∠4
因为：在三角形BGC中，∠BGC=50°
所以：∠1+∠2+∠3=130°
因为：∠4=∠3+50° （∠4为三角形DGC的一个外角）
又因为：∠1=∠4
所以：∠3+50°+∠2+∠3=130°
即：∠2+2∠3=80°
又因为：GC为∠ACD的角平分线
所以：2∠3=∠ACD
所以：∠2+∠ACD=∠ACB=80°
因为：DE∥BC
所以：∠DEC=180°-∠ACB=180°-80°=100°
（3）题目应为：图（3），如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，AI平分∠CAH,AI交DF于点N点，当点H在BC上运动时，(∠DEC+∠DMH)/∠ANF的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值。
解：设AH交DE于G点，AH交DF于P点。∠HAI=∠1，∠AGE=∠2，∠EDF=∠3，∠APF=∠4。
因为：AI为∠CAH的角平分线
所以：∠CAH=2∠1
因为：DF为∠EDC的角平分线
所以：∠EDC=2∠3
因为：∠DEC=2∠1+∠2（∠DEC为三角形AGE的一个外角）
∠DMH=2∠3+∠DGH（同理可得）
又因为：∠2=∠DGH（对顶角相等）
所以：∠DEC+ ∠DMH=2∠1+∠2+2∠3+∠2=2∠1+2∠2+2∠3=2（∠1+∠2+∠3）
同理可得：∠ANF=∠1+∠4
∠4=∠3+∠DGH=∠3+∠2
∠ANF=∠1+∠2+∠3
所以：（∠DEC+ ∠DMH）/∠ANF=2（∠1+∠2+∠3）/∠1+∠2+∠3=2

Answer 2

证明：因为 DE//BC，
所以 角EDB+角CBD=180度 ，即：角CDE+角CDB+角CBD=180度，
因为 角CBD=角CDB，
所以 角CDE+2角CDB=180度，
因为 DF平分角CDE，
所以 角CDE=2角CDF，
所以 2角CDF+2角CDB=180度，
角CDF+角CDB=90度，即：角BDF=90度，
所以 角DBF+角DFB=90度。