Question

如图 已知抛物线y=1/2x^2+bx+c与x轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点,与y轴交于点c

在抛物线的对称轴上找一点M是|MA-MC|的值最大

Answer 1

答：

抛物线y=(1/2)x^2+bx+c交于x轴上A（-4,0）和B(1,0)

根据韦达定理求得：
-4+1=-b/(1/2)=-2b，b=3/2

-4*1=c/(1/2)=2c，c=-2

y=(1/2)x^2+3x/2-2

则交点C为（0，-2），对称轴x=-3/2

作点C关于对称轴对称的点D（-3，-2）

AD直线斜率k=(-2-0)/(-3+4)=-2

直线AD为y=-2*(x+4)=-2x-8

直线AD交对称轴x=-3/2于点M为（-3/2，-5)为所求点使得|MA-MC|的值最大为AD

因为：MC=MD

所以：MA-MC=MA-MD<=AD=√5（三角形两边之差小于第三边）

所以：点M为（-3/2，-5)，|MA-MC|最大值为√5

更简便的步骤就是：

直线BC斜率k=(-2-0)/(0-1)=2

直线BC为y=2(x-1)

直线BC与对称轴x=-3/2的交点为M（-3/2，-5)，即为所求点

因为：MB=MA

所以：MA-MC=MB-MC<=BC=√5