Question

在四面体ABCD中,BD=根号2a AB=AD=CB=CD=AC=a 如图,求证平面ABD垂直于平面BCD

Answer 1

取BD的中点E，连接AE、CE。

已知，BD = √2a ，AB = AD = a ，
可得：△ABD是等腰直角三角形，AE是斜边上的中线，
则有：AE⊥BD ，AE = (1/2)BD = (√2/2)a 。

已知，BD = √2a ，CB = CD = a ，
可得：△CBD是等腰直角三角形，CE是斜边上的中线，
则有：CE = (1/2)BD = (√2/2)a 。

已知，AC = a ，AE = CE = (√2/2)a ，
可得：△ACE是等腰直角三角形，
则有：AE⊥CE 。

因为，AE⊥BD ，AE⊥CE ，BD和AE都在平面BCD内，
所以，AE⊥平面BCD ，而且，AE在平面ABD内，
可得：平面ABD⊥平面BCD 。