Question

如图 在Rt△ABC中∠C=90°,AC=4cm BC=3cm 动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的

如图 在Rt△ABC中∠C=90°,AC=4cm BC=3cm 动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动 同时动点P从点B出发 以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）
1、当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？
2、是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1、当以 A、P、M 为顶点的三角形与△ABC相似时，因两者共同角 ∠A 已定，要么∠APM=90°，要么∠AMP=90°；
由已知条件可得直角三角形的斜边 AB=5，sinA=3/5，sinB=4/5，cosA=4/5；
t 时刻，AM=4-t，AP=5-2t，BN=3-t，BP=2t；
若 ∠APM=90°，由 cosA=AP/AM=4/5 得 (5-2t)/(4-t)=4/5，解得 t=3/2；
若 ∠AMP=90°，由 cosA=AM/AP=4/5 的 (4-t)/(5-2t)=4/5，解得 t=0（不和题意，舍去）；
2、四边形 APNC 的面积 S ＝△ABC的面积－△BPN的面积；
即 S=(AC*BC/2)-[BP*BN*(sinB)/2]=(4*3/2)-[(3-t)*2t*(4/5)/2]=6+(4/5)(t²-3t)≥6+(4/5)*(-9/4)=21/5；