Question

数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =2a n -3n，（n∈N * ）．（1）证明：{a n +3}是等比数列，并求数列{a

数列{a n }的前n项和S n 满足：S n =2a n -3n，（n∈N * ）．（1）证明：{a n +3}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b n = (2n-1)．an 3 ，求数列{b n }的前n项和H n ．

Answer 1

证明：（1）当n≥2时由S n =2a n -3n得S n-1 =2a n-1 -3（n-1）， 两式相减得S n -S n-1 =a n =（2a n -3n）-[2a n-1 -3（n-1）]， 整理得a n =2a n-1 +3     …（2分） ∴ an+3 an-1+3 = 2an-1+3+3 an-1+3 =2                          …（4分） 由S 1 =2a 1 -3得a 1 =3， ∴a 1 +3=6 ∴{a n +3}是以6为首项、2为公比的等比数列           …（5分） ∴a n +3=6.2 n-1 ， ∴a n =3.2 n -3                       …（6分） （2）∵b n =（2n-1）?（2 n -1） 设T n =1.2 1 +3.2 2 +5.2 3 +…+（2n-3）2 n-1 +（2n-1）2 n                  ① 2T n =1.2 2 +3.2 3 +…+（2n-3）2 n +（2n-1）2 n+1      ② 由①-②得：-T n =2+2 3 +2 4 +…+2 n+1 -（2n-1）2 n+1 ，…（7分） =2+ 8(1- 2 n-1 ) 1-2 -（2n-1）.2 n+1        …（9分） 化简得 T n =（2n-3）.2 n+1 +6．                       …（11分） ∴H n =T n -[1+3+…+（2n-1）]=（2n-3）.2 n+1 +6-n 2         …（14分）