Question

设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+c2b=cosA+cosC．（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）求y=c

设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+c2b=cosA+cosC．（1）证明：A，B，C成等差数列；（2）求y=cos2A2+cos2B2+cos2C2的取值范围．

Answer 1

（1）证明：△ABC中，∵

a+c

2b

=cosA+cosC，
∴由正弦定理可得

sinA+sinC

2sinB

=cosA+cosC，即 sinA+sinC=2sinB?（cosA+cosC ），
即2sin

A+C

2

cos

A?C

2

=2sinB?2cos

A+C

2

cos

A?C

2

，
化简可得 sin

180°?B

2

=4sin

B

2

cos

B

2

?cos

180°?B

2

，求得sin

B

2

=

1

2

，

B

2

=30°，
∴B=60°，A+C=120°，2B=A+C，∴：A，B，C成等差数列．
（2）求y=cos²

A

2

+cos²

B

2

+cos²

C

2

=

1+cosA

2

+

3

4

+

1+cosC

2

=

7

4

+

1

2

（cosA+cosC）
=

7

4

+

1

2

×2cos

A+C

2

cos

A?C

2

=

7

4

+

1

2

cos

A?C

2

．
由题意可得-120°＜A-C＜120°，∴

A?C

2

∈（-60°，60°），
∴cos

A?C

2

∈（

1

2

，1]，∴y∈（2，

9

4

]．