Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．

Answer 1

（1）∵圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆O₁上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O₁的半径为4，
∵圆心为O₁（9，0），
∴圆O₁的标准方程为（x-9）²+y²=16；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka+b=0
∴O，O₁到直线l的距离分别为h＝

|ka?b|

1+k2

，h1＝

|?9k+ka?b|

1+k2

∴d＝2

64?( |ka?b| 1+k2 )2

，d1＝2

16?( |?9k+ka?b| 1+k2 )2

∵d与d₁的比值总等于同一常数λ，
∴64-(

|ka?b|

1+k2

)2=λ²[16-(

|?9k+ka?b|

1+k2

)2]
∴[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]k²+2b[a-λ²（a-9）]k+64-b²-λ²（16-b²）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2b[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同时成立，
①如果b=0，则64-16λ²=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，显然a=9不满足，从而λ2＝

a

a?9

，3a²-43a+192=0，△=43²-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=4

7

，d1＝2

7

，∴

d

d1

＝2也满足
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），
斜率不存在时 P（18，0），直线与圆外离，舍去．