Question

如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点

如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）当点P在线段AO上时，
在△ABP和△ADP中

AB＝AD ∠BAP＝∠DAP＝45° AP＝AP

，
∴△ABP≌△ADP，
∴BP=DP，
∵PB=PE，
∴PE=PD，
过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，
∵PB=PE，PN⊥BE，
∴BN=NE，
∵BN=DM，
∴DM=NE，
在Rt△PNE与Rt△PMD中，
∵PD=PE，NE=DM，
∴Rt△PNE≌Rt△PMD，
∴∠DPM=∠EPN，
∵∠MPN=90°，
∴∠DPE=90°，
故PE⊥PD，
PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵△ADP≌△ABP，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵BP=PE，
∴∠CBP=∠PEC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．