Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 　 　 度．

Answer 1

解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， ∵在△BCP和△DCP中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）。 （2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP， ∴∠CBP=∠CDP。 ∵PE=PB，∴∠CBP=∠E。∴∠DPE=∠DCE。 ∵∠1=∠2（对顶角相等）， ∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E， 即∠DPE=∠DCE。 ∵AB∥CD， ∴∠DCE=∠ABC。 ∴∠DPE=∠ABC。 （3）58

试题分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可。 （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证。 （3）根据（2）的结论 与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC， ∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°。