Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：CF⊥B1E；（3）求三棱锥VC-B1FE的体积．

Answer 1

（1）证明：连接BD₁，
∵E、F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF是三角形BD₁D的中位线，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁…（4分）
（2）证明：E、F分别为D₁D，DB的中点，
则CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E…（8分）
（3）解：由（2）可知CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF为高，CF=BF=

2

∵EF=

1

2

BD₁=

3

，B₁F=

6

，B₁E=3
∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB₁=90°
∴S△B1EF=

3 2

2

∴VB1-EFC=CC-B1EF=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1…（12分）