Question

已知k是整数，且方程x2+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值

已知k是整数，且方程x2+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值．

Answer 1

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Answer 2

设方程x²+kx-k+1=0的两个不相等的正整数根为a，b（a＜b），
根据根与系数的关系有：
a+b=-k，ab=-k+1
消去k有：
ab=a+b+1
即（a-1）（b-1）=2
∵a，b是正整数，
∴只有a-1=1，b-1=2，
a=2，b=3
2+3=-k
故k的值为-5．

Answer 3

k的值为小于等于-5的全体负整数，即k∈{-5,-6，-7，-8，......}
解：x²+kx-k+1=0
根据方程根的判别式Δ=b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根得：k²-4(1-k)>0
即：(k+2)²>8
解得: k+2>2√2或k+2<-2√2
即：k∈(-∞，-2,-2√2）∪（-2+2√2，+∞）---------①
设方程方程x²+kx-k+1=0的两个根x1，x2，则x1和x2是正整数.
根据韦达定理(根与系数的关系）有不等式组：
x1+x2=-k
x1*x2=1-k
因为：x1和x2都是正整数，
所以：-k>0，即k<0--------------------------------②
1-k>0，即k<1------------------------------③
宗上①②③得：k∈(-∞，-2,-2√2）
而：x1,x2是正整数，
所以：k和1-k也都是正整数。
所以：k的值属于集合{-5,-6，-7，-8，......}