Question

一道数列的题，高手快帮忙！不胜感激…

数列{an}的相邻两项an和an+1之和为3^n，数列Cn=an/(3^n)，求{Cn}通项…我求出来居然是常数列！望高手帮忙！

Answer 1

解：∵An+A(n+1)=3^n.∴两边同除以3^n,可得[(An)/(3^n)]+[3A(n+1)/3^(n+1)]=1.由题设可知 Cn+3C(n+1)=1.===>3[C(n+1)-(1/4)]=-[Cn-(1/4)].可设数列Bn=Cn-(1/4).则3B(n+1)=-Bn.【1】数列{An}的首项未给。当A1=3/4时，C1=(A1)/3=1/4.此时可知，C1=C2=C3=...=Cn=1/4.是常数列。【2】当A1≠3/4时，可设A1=t.t≠3/4.由上可知，C1=(A1)/3=t/3.B1=C1-(1/4)=(4t-3)/12.Bn=B1×(-1/3)^(n-1).===>Cn-(1/4)=B1×(-1/3)^(n-1).===>通项Cn=(1/4)+B1×(-1/3)^(n-1).