已知函数f（x）=-13x3+x2+(m2?1)x，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））
已知函数f（x）=-13x3+x2+(m2?1)x，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（32...
已知函数f（x）=-13x3+x2+(m2?1)x，（x∈R），其中m＞0（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（Ⅱ）若f（x）在（32，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围（Ⅲ）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范围．
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（Ⅰ）当m=2时，f（x）=
x3+x2+3x，
∴f′（x）=-x2+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，
（Ⅱ）若f（x）在（
，+∞）上存在单调递增区间，
即存在某个子区间（a，b）?（
，+∞）使得f′（x）＞0，
∴只需f′（
）＞0即可，
f′（x）=-x2+2x+m2-1，
由f′（
）＞0解得m＜-
或m＞
，
由于m＞0，∴m＞
．
（Ⅲ）由题设可得f(x)＝x(?
x2+x+m2?1)＝?
x(x?x1)(x?x2)，
∴方程?
x2+x+m2?1＝0有两个相异的实根x1，x2，
故x1+x2=3，且△＝1+
(m2?1)＞0
解得：m＜?
（舍去）或m＞
，
∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴x2＞
＞1，
若 x1≤1＜x2，
则f(1)＝?
(1?x1)(1?x2)≥0，
而f（x1）=0，不合题意．
若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，
有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，
则f(x)＝?
x(x?x1)(x?x2)≥0，
又f（x1）=0，所以 f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)＝m2?
＜0，
解得?
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∴f′（x）=-x2+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9，
（Ⅱ）若f（x）在（
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即存在某个子区间（a，b）?（
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∴只需f′（
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f′（x）=-x2+2x+m2-1，
由f′（
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由于m＞0，∴m＞
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（Ⅲ）由题设可得f(x)＝x(?
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∴方程?
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故x1+x2=3，且△＝1+
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解得：m＜?
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∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴x2＞
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若 x1≤1＜x2，
则f(1)＝?
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而f（x1）=0，不合题意．
若1＜x1＜x2，对任意的x∈[x1，x2]，
有x＞0，x-x1≥0，x-x2≤0，
则f(x)＝?
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又f（x1）=0，所以 f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)＝m2?
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解得?
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