Question

等边△ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边△DEF，连接CF、AF．（1）求证：FE=FC；（2）当∠D

等边△ABC中，D为AB中点，E为BC上一点，以DE为边作等边△DEF，连接CF、AF．（1）求证：FE=FC；（2）当∠DAF=90°，CE=1时，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接CD，
∵D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，∠DCE=

1

2

∠ACB=30°，
作FG⊥DE于G，则FG为DE垂直平分线，
∴∠DCE=30°=

1

2

∠DFE，
∴F为△CDE外接圆圆心，
∴FE=FC；
（2）解：如图2，
过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，
∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，
∴AI垂直平分BC，
∴BI=

1

2

BC，
∵∠ADF+60°+∠BDE=180°，∠BED+60°+∠BDE=180°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△DEB中，

∠ADF＝∠BFD   ∠DAF＝∠DHE   DF＝DE

，
∴△ADF≌△HED（AAS），
∴HE=AD=

1

2

AB=

1

2

BC，
∵DH⊥BC，AI⊥BC，
∴DH∥AI，
∵△ABI中，D为AB中点，DH∥AI，
∴BH=

1

2

BI=

1

4

BC，
BC=CE+HE+BH=1+

1

2

BC+

1

4

BC，
∴BC=4，
∴BE=4-1=3．