Question

已知：m、n是方程x 2 ﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x 2 +bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，

已知：m、n是方程x 2 ﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x 2 +bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

Answer 1

解：（1）解方程x 2 ﹣6x+5=0， 得x 1 =5，x 2 =1 由m＜n，有m=1，n=5 所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）． 将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x 2 +bx+c． 得 解这个方程组，得 所以，抛物线的解析式为y=﹣x 2 ﹣4x+5 （2）由y=﹣x 2 ﹣4x+5，令y=0，得﹣x 2 ﹣4x+5=0 解这个方程，得x 1 =﹣5，x 2 =1 所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）． 过D作x轴的垂线交x轴于M． 则S △DMC = ×9×（5﹣2）= S 梯形MDBO = ×2×（9+5）=14， S △BOC = ×5×5= 所以，S △BCD= S 梯形MDBO +S △DMC ﹣S △BOC =14+ ﹣ =15． （3）设P点的坐标为（a，0） 因为线段BC过B、C两点， 所以BC所在的直线方程为y=x+5． 那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）， PH与抛物线y=﹣x 2 ﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a 2 ﹣4a+5）． 由题意，得①EH= EP， 即（﹣a 2 ﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5） 解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去） ②EH= EP，即（﹣a 2 ﹣4a+5）﹣（a+5）= （a+5） 解这个方程，得a=﹣ 或a=﹣5（舍去） P点的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）．