Question

如图，已知椭圆C：x2a2+y2a2?1=1的离心率为22，上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，且异于点A、B，直线

如图，已知椭圆C：x2a2+y2a2?1=1的离心率为22，上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线y=-3分别相交于点M、N，设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：k1?k2为定值；（Ⅲ）求直线MN长度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2?1

=1的离心率为

2

2

，
∴e＝

c

a

=

1

a

＝

2

2

，解得a=

2

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．
（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上，
∴A（0，1），B（0，-1），设P（x₀，y₀），∵异于点A、B，∴x₀≠0，
∴直线AP的斜率k₁=

y0?1

x0

，直线BP的斜率k₂=

y0+1

x0

，
∵P（x₀，y₀）在

x2

2

+y2＝1上，∴

x02

2

+y02＝1，x₀≠0，
∴

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